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Der Begriff der Faserung verallgemeinert den Begriff eines Faserbündels und spielt in der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Rolle.

Anwendung finden Faserungen zum Beispiel in Postnikow-Systemen oder der Obstruktionstheorie.

In diesem Artikel sind alle Abbildungen stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen.

• Definitionen

• Homotopie-Hochhebungseigenschaft

• Faserung

• Serre-Faserung

• Quasifaserung

• Beispiele

• Grundlegende Konzepte

• Faser-Homotopieäquivalenz

• Pullback-Faserung

• Wegeraum-Faserung

• Eigenschaften

• Puppe-Sequenz

• Hauptfaserung

• Lange exakte Homotopiesequenz

• Hopf-Faserungen

• Spektralsequenz

• Orientierbarkeit

• Euler-Charakteristik

• Literatur

• Einzelnachweise

Eine Abbildung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für einen Raum X {\displaystyle X} , falls:

• für jede Homotopie h : : X × × [ 0 , 1 ] → → B {\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B} und

• für jede Abbildung (auch Lift genannt) h ~ ~ 0 : : X → → E , {\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E,} die h 0 = h | X × × 0 {\displaystyle h_{0}=h|_{X\times {0}}} hochhebt (bzw. liftet) (d. h. h 0 = p ∘ ∘ h ~ ~ 0 {\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}} ),

existiert eine Homotopie h ~ ~ : : X × × [ 0 , 1 ] → → E , {\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E,} die h {\displaystyle h} hochhebt (d. h. h = p ∘ ∘ h ~ ~ {\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}} ) mit h ~ ~ 0 = h ~ ~ | X × × 0 . {\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times {0}}.}

Das folgende kommutative Diagramm zeigt die Situation: [ 4 ] S .66 {\displaystyle ^{[4]S.66}}

Eine Faserung (oder auch Hurewicz-Faserung) ist eine Abbildung p : : E → → B , {\displaystyle p\colon E\to B,} welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume X {\displaystyle X} erfüllt. Der Raum B {\displaystyle B} wird Basisraum und der Raum E {\displaystyle E} wird Totalraum genannt. Als Faser über b ∈ ∈ B {\displaystyle b\in B} bezeichnet man den Unterraum p − − 1 ( b ) = F b ⊆ ⊆ E . {\displaystyle p^{-1}(b)=F_{b}\subseteq E.} [ 4 ] S .66 {\displaystyle ^{[4]S.66}}

Eine Serre-Faserung (auch schwache Faserung genannt) ist eine Abbildung p : : E → → B , {\displaystyle p\colon E\to B,} welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe erfüllt. [ 1 ] S .375 − − 376 {\displaystyle ^{[1]S.375-376}}

Jede Hurewicz-Faserung ist eine Serre-Faserung.

Eine Abbildung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} wird Quasifaserung genannt, falls für jedes b ∈ ∈ B , {\displaystyle b\in B,} e ∈ ∈ p − − 1 ( b ) {\displaystyle e\in p^{-1}(b)} and i ≥ ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0} gilt, dass die induzierte Abbildung p ∗ ∗ : : π π i ( E , p − − 1 ( b ) , e ) → → π π i ( B , b ) {\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)} ein Isomorphismus ist.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung. [ 5 ] S .241 − − 242 {\displaystyle ^{[5]S.241-242}}

• Die Projektion auf den ersten Faktor p : : B × × F → → B {\displaystyle p\colon B\times F\to B} ist eine Faserung.

• Jede Überlagerung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für jeden Raum X . {\displaystyle X.} Speziell gibt es für jede Homotopie h : : X × × [ 0 , 1 ] → → B {\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B} und jeden Lift h ~ ~ 0 : : X → → E {\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E} einen eindeutig definierten Lift h ~ ~ : : X → → B {\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\to B} mit p ∘ ∘ h ~ ~ = h . {\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.} [ 2 ] S .159 {\displaystyle ^{[2]S.159}} [ 3 ] S .50 {\displaystyle ^{[3]S.50}}

• Faserbündel p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} erfüllen die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe. [ 1 ] S .379 {\displaystyle ^{[1]S.379}}

• Ein Faserbündel mit parakompaktem Hausdorff Basisraum erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume. [ 1 ] S .379 {\displaystyle ^{[1]S.379}}

• Eine Faserung, welche kein Faserbündel ist, ist die von der Inklusion i : : ∂ ∂ I k → → I k {\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}} induzierte Abbildung i ∗ ∗ : : X I k → → X ∂ ∂ I k , {\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}},} wobei k ∈ ∈ N , {\displaystyle k\in \mathbb {N} ,} X {\displaystyle X} ein topologischer Raum und X A = { f : : A → → X } {\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}} der Raum aller stetigen Abbildungen mit der Kompakt-Offen-Topologie ist. [ 2 ] S .198 {\displaystyle ^{[2]S.198}}

• Die Hopf-Faserung S 1 → → S 3 → → S 2 {\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}} ist ein nicht triviales Faserbündel und speziell eine Serre-Faserung.

Eine Abbildung f : : E 1 → → E 2 {\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}} zwischen Totalräumen von zwei Faserungen p 1 : : E 1 → → B {\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B} und p 2 : : E 2 → → B {\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B} mit gleichem Basisraum ist ein Faserungs-Homomorphismus, falls das Diagramm

kommutiert. Die Abbildung f {\displaystyle f} ist eine Faser-Homotopieäquivalenz, falls zusätzlich ein Faserungs-Homomorphismus g : : E 2 → → E 1 {\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}} existiert, sodass die Verknüpfungen f ∘ ∘ g {\displaystyle f\circ g} bzw. g ∘ ∘ f {\displaystyle g\circ f} homotop, durch Faserungs-Homomorphismen, zu den Identitäten I d E 2 {\displaystyle Id_{E_{2}}} bzw. I d E 1 {\displaystyle Id_{E_{1}}} sind.cite-ref-0-1-0[1]

Gegeben seien eine Faserung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} und eine Abbildung f : : A → → B {\displaystyle f\colon A\to B} . Die Abbildung p f : : f ∗ ∗ ( E ) → → A {\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A} ist eine Faserung, wobei f ∗ ∗ ( E ) = { ( a , e ) ∈ ∈ A × × E | f ( a ) = p ( e ) } {\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}} der Pullback ist und die Projektionen von f ∗ ∗ ( E ) {\displaystyle f^{*}(E)} auf A {\displaystyle A} und E {\displaystyle E} das kommutative Diagramm liefern:

Die Faserung p f {\displaystyle p_{f}} wird Pullback-Faserung oder auch induzierte Faserung genannt.cite-ref-0-1-1[1]

Mit der Wegeraumkonstruktion kann jede stetige Abbildung zu einer Faserung erweitert werden, indem man den Definitionsbereich der Abbildung zu einem homotopieäquivalenten Raum vergrößert. Diese Faserung wird dann Wegeraum-Faserung genannt.

Der Totalraum E f {\displaystyle E_{f}} der Wegeraum-Faserung für eine stetige Abbildung f : : A → → B {\displaystyle f\colon A\to B} zwischen topologischen Räumen besteht aus Paaren ( a , γ γ ) {\displaystyle (a,\gamma )} mit a ∈ ∈ A {\displaystyle a\in A} und Wegen γ γ : : I → → B {\displaystyle \gamma \colon I\to B} mit Startpunkt γ γ ( 0 ) = f ( a ) {\displaystyle \gamma (0)=f(a)~} , wobei I = [ 0 , 1 ] {\displaystyle I=[0,1]} das Einheitsintervall ist. Der Raum E f = { ( a , γ γ ) ∈ ∈ A × × B I | γ γ ( 0 ) = f ( a ) } {\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}} trägt die Teilraumtopologie von A × × B I , {\displaystyle A\times B^{I},} wobei B I {\displaystyle B^{I}} den Raum aller Abbildungen I → → B {\displaystyle I\to B} beschreibt und die Kompakt-Offen-Topologie trägt.

Die Wegeraum-Faserung ist durch die Abbildung p : : E f → → B {\displaystyle p\colon E_{f}\to B} mit der Abbildungsvorschrift p ( a , γ γ ) = γ γ ( 1 ) {\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1)} gegeben. Die Faser F f {\displaystyle F_{f}} wird auch Homotopie-Faser von f {\displaystyle f} genannt und besteht aus den Paaren ( a , γ γ ) {\displaystyle (a,\gamma )} mit a ∈ ∈ A {\displaystyle a\in A} und Wegen γ γ : : [ 0 , 1 ] → → B , {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to B,} wobei γ γ ( 0 ) = f ( a ) {\displaystyle \gamma (0)=f(a)} und γ γ ( 1 ) = b 0 ∈ ∈ B {\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B} gilt.

Für den Spezialfall der Inklusion des Basispunktes i : : b 0 → → B , {\displaystyle i\colon b_{0}\to B,} ergibt sich ein wichtiges Beispiel der Wegeraum-Faserung. Der Totalraum E i {\displaystyle E_{i}} besteht aus allen Wegen in B , {\displaystyle B,} die am Punkt b 0 {\displaystyle b_{0}} starten. Dieser Raum wird mit P B {\displaystyle PB} gekennzeichnet und Wegeraum genannt. Die Wege-Faserung p : : P B → → B {\displaystyle p\colon PB\to B} ordnet jedem Weg seinen Endpunkt zu, weshalb die Faser p − − 1 ( b 0 ) {\displaystyle p^{-1}(b_{0})} aus allen geschlossenen Wegen besteht. Die Faser wird mit Ω Ω B {\displaystyle \Omega B} gekennzeichnet und Schleifenraum genannt. [ 1 ] S .407 − − 408 {\displaystyle ^{[1]S.407-408}}

• Die Fasern p − − 1 ( b ) {\displaystyle p^{-1}(b)} über b ∈ ∈ B {\displaystyle b\in B} sind für die einzelnen Wegzusammenhangskomponenten von B {\displaystyle B} homotopieäquivalent. [ 1 ] S .405 {\displaystyle ^{[1]S.405}}

• Für eine Homotopie f : : [ 0 , 1 ] × × A → → B {\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B} sind die Pullback Faserungen f 0 ∗ ∗ ( E ) → → A {\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A} und f 1 ∗ ∗ ( E ) → → A {\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A} Faser homotopieäquivalent. [ 1 ] S .406 {\displaystyle ^{[1]S.406}}

• Ist der Basisraum B {\displaystyle B} zusammenziehbar, dann ist p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} Faser homotopieäquivalent zu einer Produkt Faserung B × × F → → B . {\displaystyle B\times F\to B.} [ 1 ] S .406 {\displaystyle ^{[1]S.406}}

• Die Wegeraum-Faserung von p {\displaystyle p} ist sich selbst sehr ähnlich. Genauer gilt: Die Inklusion E ↪ ↪ E p {\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}} ist eine Faser-Homotopieäquivalenz. [ 1 ] S .408 {\displaystyle ^{[1]S.408}}

• Ist der Totalraum E {\displaystyle E} zusammenziehbar, dann gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz F → → Ω Ω B . {\displaystyle F\to \Omega B.} [ 1 ] S .408 {\displaystyle ^{[1]S.408}}

Für eine Faserung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser F {\displaystyle F} und Basispunkt b 0 ∈ ∈ B {\displaystyle b_{0}\in B} ist die Inklusion F ↪ ↪ F p {\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}} der Faser in die Homotopie-Faser eine Homotopieäquivalenz. Die Abbildung i : : F p → → E {\displaystyle i\colon F_{p}\to E} mit i ( e , γ γ ) = e , {\displaystyle i(e,\gamma )=e,} wobei e ∈ ∈ E {\displaystyle e\in E} und γ γ : : I → → B {\displaystyle \gamma \colon I\to B} ein Weg von p ( e ) {\displaystyle p(e)} nach b 0 {\displaystyle b_{0}} im Basisraum sind, ist eine Faserung. Sie ist die Pullback-Faserung der Wege-Faserung P B → → B . {\displaystyle PB\to B.} Dieses Vorgehen kann nun wieder auf die Faserung i {\displaystyle i} angewandt und iteriert werden. Dies führt zu einer langen Sequenz:

⋯ ⋯ → → F j → → F i → j F p → i E → p B . {\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}

Die Faser von i {\displaystyle i} über einem Punkt e 0 ∈ ∈ p − − 1 ( b 0 ) {\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})} besteht aus genau den Paaren ( e 0 , γ γ ) {\displaystyle (e_{0},\gamma )} mit geschlossenen Wegen γ γ {\displaystyle \gamma } und Startpunkt b 0 {\displaystyle b_{0}} , also dem Schleifenraum Ω Ω B . {\displaystyle \Omega B.} Die Inklusion Ω Ω B → → F {\displaystyle \Omega B\to F} ist eine Homotopieäquivalenz und durch Iteration ergibt sich die Sequenz:

⋯ ⋯ Ω Ω 2 B → → Ω Ω F → → Ω Ω E → → Ω Ω B → → F → → E → → B . {\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}

Durch die Dualität von Faserung und Kofaserung existiert auch eine Sequenz von Kofaserungen. Diese beiden Sequenzen sind unter dem Namen Puppe-Sequenzen oder auch Sequenz von Faserungen bzw. Kofaserungen bekannt. [ 1 ] S .407 − − 409 {\displaystyle ^{[1]S.407-409}}

Eine Faserung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser F {\displaystyle F} wird Hauptfaserung genannt, falls ein kommutatives Diagramm existiert:

Die untere Zeile ist eine Sequenz von Faserungen und die vertikalen Abbildungen sind schwache Homotopieäquivalenzen. Hauptfaserungen spielen eine wichtige Rolle bei Postnikow-Türmen. [ 1 ] p .412 {\displaystyle ^{[1]p.412}}

Für eine Serre-Faserung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen. Für Basispunkte b 0 ∈ ∈ B {\displaystyle b_{0}\in B} und x 0 ∈ ∈ F = p − − 1 ( b 0 ) {\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})} ist diese gegeben durch:

⋯ ⋯ → → π π n ( F , x 0 ) → → π π n ( E , x 0 ) → → π π n ( B , b 0 ) → → π π n − − 1 ( F , x 0 ) → → ⋯ ⋯ → → π π 0 ( F , x 0 ) → → π π 0 ( E , x 0 ) . {\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}

Die Homomorphismen π π n ( F , x 0 ) → → π π n ( E , x 0 ) {\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})} und π π n ( E , x 0 ) → → π π n ( B , b 0 ) {\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})} sind die induzierten Homomorphismen der Inklusion i : : F ↪ ↪ E {\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E} und der Projektion p : : E → → B . {\displaystyle p\colon E\rightarrow B.} [ 1 ] S .376 {\displaystyle ^{[1]S.376}}

Unter den Hopf-Faserungen versteht man eine Familie von Faserbündeln, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind:

S 0 ↪ ↪ S 1 → → S 1 , {\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}

S 1 ↪ ↪ S 3 → → S 2 , {\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}

S 3 ↪ ↪ S 7 → → S 4 , {\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}

S 7 ↪ ↪ S 15 → → S 8 . {\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}

Die lange exakte Homotopiesequenz der Hopf-Faserung S 1 ↪ ↪ S 3 → → S 2 {\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}} liefert:

⋯ ⋯ → → π π n ( S 1 , x 0 ) → → π π n ( S 3 , x 0 ) → → π π n ( S 2 , b 0 ) → → π π n − − 1 ( S 1 , x 0 ) → → ⋯ ⋯ → → π π 1 ( S 1 , x 0 ) → → π π 1 ( S 3 , x 0 ) → → π π 1 ( S 2 , b 0 ) . {\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}

Die Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen, da die Faser S 1 {\displaystyle S^{1}} in S 3 {\displaystyle S^{3}} zu einem Punkt zusammengezogen werden kann:

0 → → π π i ( S 3 ) → → π π i ( S 2 ) → → π π i − − 1 ( S 1 ) → → 0. {\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}

Diese kurze exakte Sequenz zerfällt wegen des Einhängungshomomorphismus ϕ ϕ : : π π i − − 1 ( S 1 ) → → π π i ( S 2 ) {\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})~} und es gibt Isomorphismen:

π π i ( S 2 ) ≅ ≅ π π i ( S 3 ) ⊕ ⊕ π π i − − 1 ( S 1 ) . {\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}

Die Homotopiegruppen π π i − − 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})} sind für i ≥ ≥ 3 {\displaystyle i\geq 3} trivial, weshalb es Isomorphismen zwischen π π i ( S 2 ) {\displaystyle \pi _{i}(S^{2})} und π π i ( S 3 ) {\displaystyle \pi _{i}(S^{3})} ab i = 3 {\displaystyle i=3} gibt. Analog kann die Faser S 3 {\displaystyle S^{3}} in S 7 {\displaystyle S^{7}} und die Faser S 7 {\displaystyle S^{7}} in S 15 {\displaystyle S^{15}} zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die kurzen exakten Sequenzen zerfallen weiter, wodurch es Familien von Isomorphismen gibt:

π π i ( S 4 ) ≅ ≅ π π i ( S 7 ) ⊕ ⊕ π π i − − 1 ( S 3 ) {\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})} und π π i ( S 8 ) ≅ ≅ π π i ( S 15 ) ⊕ ⊕ π π i − − 1 ( S 7 ) . {\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).} [ 6 ] S .111 {\displaystyle ^{[6]S.111}}

Spektralsequenzen sind wichtige Hilfsmittel in der algebraischen Topologie zur Berechnung von (Ko-)Homologiegruppen.

Die Leray-Serre-Spektralsequenz stellt einen Zusammenhang zwischen der (Ko-)Homologie von Totalraum und Faser mit der (Ko-)Homologie des Basisraums einer Faserung her. Für eine Faserung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser F {\displaystyle F} , wobei der Basisraum ein wegzusammenhängender CW-Komplex ist, und einer additiven Homologietheorie G ∗ ∗ {\displaystyle G_{*}} existiert eine Spektralsequenz:

H k ( B ; G q ( F ) ) ≅ ≅ E k , q 2 ⟹ ⟹ G k + q ( E ) . {\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).} [ 7 ] S .242 {\displaystyle ^{[7]S.242}}

Faserungen liefern in der Homologie keine langen exakten Sequenzen, wie in der Homotopie. Aber unter bestimmten Bedingungen, liefern Faserungen exakte Sequenzen in der Homologie. Für eine Faserung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser F {\displaystyle F} , wobei Basisraum und Faser wegzusammenhängend sind, die Fundamentalgruppe π π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} auf H ∗ ∗ ( F ) {\displaystyle H_{*}(F)} trivial operiert und zusätzlich die Bedingungen H p ( B ) = 0 {\displaystyle H_{p}(B)=0} für 0 < p < m {\displaystyle 0<p<m} und H q ( F ) = 0 {\displaystyle H_{q}(F)=0} für 0 < q < n {\displaystyle 0<q<n} gelten, existiert eine exakte Sequenz:

H m + n − − 1 ( F ) → i ∗ ∗ H m + n − − 1 ( E ) → f ∗ ∗ H m + n − − 1 ( B ) → τ τ H m + n − − 2 ( F ) → i ∗ ∗ ⋯ ⋯ → f ∗ ∗ H 1 ( B ) → → 0. {\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.} [ 7 ] S .250 {\displaystyle ^{[7]S.250}}

Diese Sequenz kann z. B. benutzt werden, um den Satz von Hurewicz zu beweisen oder um die Homologiegruppen von Schleifenräumen der Form Ω Ω S n {\displaystyle \Omega S^{n}} zu berechnen:

H k ( Ω Ω S n ) = { Z ∃ ∃ q ∈ ∈ Z : : k = q ( n − − 1 ) 0 s o n s t . {\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&sonst\end{cases}}.} [ 8 ] S .162 {\displaystyle ^{[8]S.162}}

Für den Spezialfall einer Faserung p : : E → → S n , {\displaystyle p\colon E\to S^{n},} bei welcher der Basisraum eine n {\displaystyle n} -Sphäre mit Faser F {\displaystyle F} ist, existieren exakte Sequenzen (auch Wang Sequenzen genannt) für Homologie und Kohomologie:

⋯ ⋯ → → H q ( F ) → i ∗ ∗ H q ( E ) → → H q − − n ( F ) → → H q − − 1 ( F ) → → ⋯ ⋯ {\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }

⋯ ⋯ → → H q ( E ) → i ∗ ∗ H q ( F ) → → H q − − n + 1 ( F ) → → H q + 1 ( E ) → → ⋯ ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots } [ 4 ] S .456 {\displaystyle ^{[4]S.456}}

Für eine Faserung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser F {\displaystyle F} und einem festen kommutativen Ring R {\displaystyle R} mit Eins existiert ein kontravarianter Funktor von dem Fundamentalgruppoid von B {\displaystyle B} zur Kategorie von graduierten R {\displaystyle R} -Moduln, welcher jedem b ∈ ∈ B {\displaystyle b\in B} den Modul H ∗ ∗ ( F b , R ) {\displaystyle H_{*}(F_{b},R)} und der Wegeklasse [ ω ω ] {\displaystyle [\omega ]} den Homomorphismus h [ ω ω ] ∗ ∗ : : H ∗ ∗ ( F ω ω ( 0 ) , R ) → → H ∗ ∗ ( F ω ω ( 1 ) , R ) {\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R)} zuordnet, wobei h [ ω ω ] {\displaystyle h[\omega ]} eine Homotopieklasse in [ F ω ω ( 0 ) , F ω ω ( 1 ) ] {\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}]} ist.

Eine Faserung wird orientierbar über R {\displaystyle R} genannt, falls für jeden geschlossenen Weg ω ω {\displaystyle \omega } in B {\displaystyle B} gilt: h [ ω ω ] ∗ ∗ = 1. {\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.} [ 4 ] S .476 {\displaystyle ^{[4]S.476}}

Für eine über einem Körper K {\displaystyle \mathbb {K} } orientierbare Faserung p : : E → → B {\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser F {\displaystyle F} und wegzusammenhängendem Basisraum ist die Euler-Charakteristik des Totalraums definiert durch:

χ χ ( E ) = χ χ ( B ) χ χ ( F ) . {\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}

Die Euler-Charakteristiken des Basisraums und der Faser sind dabei über dem Körper K {\displaystyle \mathbb {K} } definiert. [ 4 ] S .481 {\displaystyle ^{[4]S.481}}

• [1] Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X.

• [2] Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-45952-2, doi:10.1007/978-3-662-45953-9.

• [3] J.P. May: A Concise Course in Algebraic Topology.

• [4] Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-94426-5, doi:10.1007/978-1-4684-9322-1.

• [5] Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und Unendlich Symmetrische Produkte. Annals of Mathematics, 1958, doi:10.2307/1970005.

• [6] Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0.

• [7] James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology. 1991.

• [8] Ralph L. Cohen: The Topology of Fiber Bundles Lecture Notes. August 1998.

cite-note-0-11. ↑ Allen Hatcher: Algebraic topology. 14th printing 2015 Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2015, ISBN 978-0-521-79160-1, S. 405–406.